MAKALAH STATISTIKA
STATISTIKA DAN PROBABILITAS
STATISTIKA DAN PROBABILITAS
DISUSUN
OLEH :
NAMA : ADE
SEPTAYANI
KELAS : 1 PJJ A
NIM : 061240111438
JURUSAN : PERANCANGAN JALAN DAN JEMBATAN (D4)
KELAS : 1 PJJ A
NIM : 061240111438
JURUSAN : PERANCANGAN JALAN DAN JEMBATAN (D4)
DOSEN
PEMBIMBING : LINA FLAVIANA TILIK, ST.MT
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA
PALEMBANG
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar
Belakang
Pada dasarnya statistika ialah
sebuah konsep dalam bereksperimen, menganalisa data yang bertujuan untuk
mengefisiensikan waktu, tenaga dan biaya dengan memperoleh hasil yang optimal.
Berdasarkan definisinya Statistika merupakan ilmu yang mempelajari
bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan
mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau
hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Data sendiri merupakan
kumpulan fakta atau angka.
Disadari atau tidak, statistika
telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Bahkan pemerintah
menggunakan statistika untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk
membuat rencana masa datang. Begitu pula Pimpinan mengambil manfaat dari
kegunaan statistika untuk melakukan tindakan - tindakan yang perlu dalam
menjalankan tugasnya, diantaranya: perlukah mengangkat pegawai baru, sudah
waktunyakah untuk membeli mesin baru, bermanfaatkah kalau pegawai di tatar,
bagaimanakah kemajuan usaha tahun tahun yang lalu, berapa banyak barang harus
dihasilkan setiap tahunnya, perlukah sistem baru dianut dan sistem lama
ditinggalkan, dan masih banyak lagi untuk disebutkan. Dunia penelitian atau
riset, dimanapun dilakukan bukan saja telah mendapat manfaat yang baik dari
statistika tetapi sering harus menggunakannya. Untuk mengetahui apakah cara
yang baru ditemukan lebih baik daripada cara lama, melalui riset yang dilakukan
dilaboratorium, atau penelitian yang dilakukan di lapangan, perlu diadakan
penilaian dengan statistika. Apakah model untuk sesuatu hal dapat kita anut
atau tidak, perlu diteliti dengan menggunakan teori statistika. Statistika juga
telah cukup mampu untuk menentukan apakah faktor yang satu dipengaruhi atau
mempengaruhi faktor lainnya. Kalau ada hubungan antara factor - faktor, berapa
kuat adanya hubungan tersebut? Bisakah kita meninggalkan faktor yang satu dan
hanya memperhatikan faktor lainnya untuk keperluan studi lebih lanjut.
Uraian singkat tadi, hendaknya cukup
dapat memberikan gambaran bahwa statistika sebenarnya diperlukan, minimal
penggunaan metodanya. Sesungguhnya statistika sangat diperlukan bukan saja
hanya dalam penelitian atau riset, tetapi juga perlu dalam bidang pengetahuan
lainnya seperti : teknik, industri, ekonomi, astronomi, biologi, kedokteran,
asuransi, pertanian, perniagaan, bisnis, sosiologi, antropologi, pemerintahan,
pendidikan, psikologi, meteorologi, geologi, farmasi, ekologi, pengetahuan
alam, pengetahuan sosial, dan lain sebagainya.
Penguasaan
statistika dan kemampuan menggunakannya merupakan suatu hal yang sangat penting
dan sangat bermanfaat bagi sebuah organisasi perusahaan khususnya dalam bidang
ekonomi dan bisnis. Karena dengan itu, sebuah organisasi perusahaan bisa
mendapatkan informasi yang sangat berguna bagi kemajuan perusahaannya.
Informasi tersebut bisa didapatkan dari hasil pengolahan data yang telah
disimpulkan kemudian data tersebut bisa kita analisa untuk dijadikan bahan
perkiraan dalam mengambil keputusan di masa yang akan datang. Semakin
berkembang pesatnya teknologi di zaman sekarang ini, setiap perusahaan
menginginkan agar bisa menggunakan teknologi tersebut dalam membuat sebuah
perencanaan yang matang untuk masa depan perusahaannya dari informasi yang
telah ada pada perusahaannya. Informasi tersebut terdiri dari data variabel dan
juga data numerik yang telah dikumpulkan, dibagi-bagi, kemudian diolah menjadi
data ringkasan yang berbentuk variabel maupun angka-angka. Dalam pengolahan
data tersebut, setiap perusahaan bisa menggunakan teknologi komputer dari
aplikasi yang telah dibuat oleh Perusahaan Microsoft seperti Microsoft Office
Excel dan ada juga aplikasi komputer yang membantu untuk pengolahan data seperti
aplikasi SPSS. Oleh karena itu, kami mencoba untuk membuat kerangka tulisan ini
yang membahas mengenai bagaimana cara penggunaan aplikasi tersebut dalam
pengolahan data yang diinginkan dengan pengetahuan yang kami dapatkan dari
kuliah Statistika Deskriptif dan juga dari berbagai sumber yang kami peroleh
baik dari media internet maupun buku-buku yang membahas tentang penggunaan
aplikasi tersebut.
Dalam
makalah ini, kami akan membahas materi yang berjudul ”STISTIKA DAN PROBABILITAS”.
Alasan kami memilih judul ini karena kami ingin menambah wawasan tentang
bagaimana data itu tersebar.
1.2 Tujuan
1. Memahami cara menentukan Data-data
dalam statistik dan Probabilitas.
2.
menunjukan manfaat statistika dan probabilitas dalam kehidupan sehari-hari
3.
Untuk memenuhi salah satu tugas ujian MID 2 semester
1 pada mata kuliah Statistika
1.3 Rumusan Masalah
1. Pengertian statistika dan distribusi frekuensi data
2.
Probabilitas dan bagian-bagiannya
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 STATISTIKA
2.1.1
Pengertian Statistika dan Distribusi Frekuensi
Statistik, secara istilah memiliki arti data yang berupa
angka-angka yang dikumpulkan, ditabulasi, digolong-golongkan sehingga dapat
memberikan informasi yang berarti mengenai suatu masalah atau gejala yang
terjadi. Dari kumpulan data yang berupa angka-angka tersebut terdapat
ukuran gejala pusat data yang berguna untuk mengetahui lokasi data dibandingkan
dengan pusat data.
Statistika merupakan ilmu yang mempelajari statistik yaitu
ilmu tentang pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan analisis data serta cara
pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak
menyeluruh. Ilmu Statistika berguna untuk memberikan informasi atas gejala
perubahan yang terjadi dengan menjelaskan hubungan antar variabel yang ada, dan
juga untuk mengambil keputusan yang lebih baik dari perencanaan yang dilakukan.
Dalam ilmu statistika terdapat istilah distribusi frekuensi.
Distribusi frekuensi adalah penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu yang
sebelumnya data tersebut masih mentah atau belum dikelompokkan kemudian diatur
sedemikian rupa sehingga menjadi data yang sudah dikelompokkan yang tertata
rapih tanpa menghilangkan informasi yang sudah ada. Distribusi frekuensi
terbagi menjadi dua macam yaitu Distribusi Frekuensi Numerical (pengelompokkan
data dengan angka-angka) dan Distribusi Frekuensi Kategorikal (pengelompokkan
data berdasarkan ketegori-kategori tertentu).
2.1.2 Definisi Statistik
Ada 2 pendekatan untuk menganalisis
informasi berdasarkan jenis informasi
yang diperoleh, yaitu analisis kuantitatif dan analisis kualitatif. Analisis kuantitatif/analisis data kuantitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja hitung-menghitung angka. Angka yang diolah disebut input dan hasilnya disebut output juga berupa angka. Analisis kualitatif/analisis data kualitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja pengelompokan simbol-simbol selain angka. Simbol itu berupa kata, frase, atau kalimat yang menunjukkan beberapa kategori. Input maupun output analisis data
kualitatif berupa simbol, dimana outputnya disebut deskripsi verbal.
Statistik adalah sebagai alat pengolah data angka. Stasistik dapat juga
diartikan sebagai metode/asas-asas guna mengerjakan/memanipulasi data kuantitatif
agar angka berbicara. Pendekatan dengan statistik sering digunakan metode statistik
yaitu metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis &
menginterpretasikan data statistik. Statistika dapat pula diartikan pengetahuan yang
berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan dan
penarikan kesimpulan berdasarkan data dan analisis. Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
Ada dua konsep dalam bahasa Inggris.Statistic: nilai yang dihitung dari sebuah
sampel (mean, median, modus, dsb). Statistics: metode ilmiah untuk pengumpulan
data atau kumpulan angka. Dalam bahasa Indonesia, statistik memiliki 3 pengertian
dimuka.
yang diperoleh, yaitu analisis kuantitatif dan analisis kualitatif. Analisis kuantitatif/analisis data kuantitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja hitung-menghitung angka. Angka yang diolah disebut input dan hasilnya disebut output juga berupa angka. Analisis kualitatif/analisis data kualitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja pengelompokan simbol-simbol selain angka. Simbol itu berupa kata, frase, atau kalimat yang menunjukkan beberapa kategori. Input maupun output analisis data
kualitatif berupa simbol, dimana outputnya disebut deskripsi verbal.
Statistik adalah sebagai alat pengolah data angka. Stasistik dapat juga
diartikan sebagai metode/asas-asas guna mengerjakan/memanipulasi data kuantitatif
agar angka berbicara. Pendekatan dengan statistik sering digunakan metode statistik
yaitu metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis &
menginterpretasikan data statistik. Statistika dapat pula diartikan pengetahuan yang
berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan dan
penarikan kesimpulan berdasarkan data dan analisis. Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
Ada dua konsep dalam bahasa Inggris.Statistic: nilai yang dihitung dari sebuah
sampel (mean, median, modus, dsb). Statistics: metode ilmiah untuk pengumpulan
data atau kumpulan angka. Dalam bahasa Indonesia, statistik memiliki 3 pengertian
dimuka.
•Kumpulan data = data
•Nilai yang dihitung dari dari sebuah sampel = statistik sampel
• Metode ilmiah guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan analisis data = statistik
2.1.2.1 Pengertian
Dispersi dan Rumusannya
Dispersi / Ukuran penyebaran Data adalah suatu ukuran baik parameter atau
statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data. Melalui ukuran
penyebaran dapat diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik
pemusatannya/ suatu kelompok data terhadap pusat data.Ukuran ini kadang –
kadang dinamakan pula ukuran variasi yang mnggambarkan berpencarnya data
kuantitatif. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan akan diuraikan disini
ialah : Rentang, Rentang natar kuartil, simpangan kuartil/deviasi kuartil,
rata-rata simpangan/rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi,
variansi dan koefisien variansi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil.
2.1.2.2
Rentang (range) :
Rentang (Range) dinotasikan sebagai R, menyatakan ukuran
yang menunjukkan selisih nilai antara maksimum dan minimum atau selisih
bilangan terbesar dengan bilangan terkecil.
Rentang merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar,
sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.Semakin kecil
nilai R maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R,
maka kualitasnya semakin tidak baik.
Rentang cukup baik digunakan untuk
mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai datanya menyebar merata.
Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum dan minimumnya
merupakan nilai ekstrim.
Rentang
= Xmax – Xmin,
Xmax
adalah data terbesar dan Xmin adalah data terkecil.
2.1.2.3
Deviasi Rata-rata
Arti deviasi rata-rata penyebaran
Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya.
Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata.
2.1.2.4
Varians
Arti penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat
simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan
sekelompok data
2.1.2.5
Deviasi Standar
penyebaran
berdasarkan akar dari varians dan menunjukkan keragaman kelompok data.
2.1.3 Ukuran Pemusatan
2.1.3.1 Median
Median adalah salah satu ukuran pemusatan
yang sering digunakan. Median dari segugus data yang telah diurutkan dari yang
terkecil sampai yang terbesar atau dari terbesar sampai terkecil adalah
pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil,
atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.
contoh
:
Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh
nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.
jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil
sampai terbesar, diperoleh
79 82 86 92 93
Oleh karena itu medianya adalah 86
Kada
nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu
adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.
jawab:
Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka
diperoleh
1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1
Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu
Median
=
= 2.6
Selain
itu juga dapat dicari median dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan ada dua, yaitu
Median
=
+
c
Dimana
:
Bbk
= batas kelas bawah median
c
= lebar kelas
s
= Selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif dari
kelas-kelas di muka kelas median
fM
= frekuensi kelas median
median
=
-
Dimana :
Bak=batas kelas atas median
c= lebar kelas
s' = selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif sampai kelas median
fM = frekuensi kelas median
Bak=batas kelas atas median
c= lebar kelas
s' = selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif sampai kelas median
fM = frekuensi kelas median
Sebelum
menggunakan kedua rumus di atas, terlebih dahulu harus ditentukan kelas yang
menjadi kelas median. Kelas median adalah kelas yang memuat nomor frekuensi median, dan
nomor frekuensi median ini ditentukan dengan membagi keseluruhan data dengan
dua.
Perhatikan tabel di bawah ini, kita akan cari median
dengan kedua cara diatas
menggunakan
kedua rumus di atas didapat:
Kelas
|
F
|
10 – 19
|
9
|
20 – 29
|
20
|
30 – 39
|
26
|
40 – 49
|
35
|
50 – 59
|
22
|
60 - 69
|
17
|
70 – 79
|
11
|
80 – 89
|
6
|
90 - 100
|
4
|
Jumlah
|
150
|
Dengan
menggunakan kedua rumus diatas didapa :
Median
= 39.5 +
10
= 45.2
Atau
Median
= 49.5 -
10
= 45.2
2.1.3.2 Modus
Modus segugus pengamatan adalah nilai yang
terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi. Modus
tidak selalu ada, hal ini bila semua pengamatan mempunyai frekuensi terjadi
yang sama. Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa dengan frekuensi
tinggi, dan dalam hal demikian kita mempunyai lebih dari satu modus.
contoh
:
Sumbangan
dari warga Bogor pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp
9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000,
Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi
paling tinggi, adalah Rp 9.000.
Dari
dua belas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak
dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu. Data yang
diperoleh adalah 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Dalam kasus ini
terdapat dua modu, yaitu 2 dan 4, karena 2 dan 4 terdapat dengan frekuensi
tertinggi. Distribusi demikian dikatakan bimodus.
Sedangkan untuk mencari modus dari
data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekuensi terlebih dahulu ditentukan kelas yang menjadi kelas modus. Kelas Modus adalah kelas yang
mempunyai frekuensi paling tinggi, lalu nilai modus ditentukan menggunkan rumus
berikut ini :
Modus
= B1 +
C
B1
= Batas bawah kelas modus.
d1
= Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas yang
mendahuluinya.
d1
= Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas berikutnya.
c
= Lebar kelas modus.
2.1.3.3 Mean
2.4.3.3.1 Mean
Didalam
bagian ini dibicarakan mengenai harga rata-rata hitung (arithmetic mean), dimana harga rata-rata ini dapat
digunakan untuk data yang tak tersusun (ungrouped data), yaitu data yang belum
tersusun distribusi frekuensinya, ataupun data yang telah tersusun dalam bentuk
distribusi frekuensi (grouped data).
Rata-rata hitung dikenal juga sebagai nilai tengah.
Selain
itu, rata-rata hitung dapat juga dibagi menjadi dua yaitu, rata-rata
hitung untuk segugus data yang membentuk populasi, dan data yang merupakan
contoh.
2.1.3.3.2
Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan
Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
Quartile adalah nilai-nilai yang membagi
segugus pengamatan menjadi empat bagian sama besar. Nilai-nilai itu, yang
dilambangkan dengan Q1, Q2, dan Q3, mempunyai sifat bahwa 25% data jatuh
dibawah Q1, 50% data jatuh dibawah Q2, dan 75% data jatuh dibawah Q3.
Jawab : Untuk
menghitung Q1 bagi distribusi umur aki, diperlukan nilai yang dibawahnya
terdapat (25/100) X 40 = 10 pengamatan. Karena pengamatan yang ke 10 dan ke 11
sama dengan 3.1 tahun, maka rat-ratanya juga 3.1 tahun jadi Q1 = 3.1 tahun.
Sedangkan
untuk menghitung Quartile dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi (grouped data), digunakan rumus
berikut.
Perhatikan table
dibawah ini, tentukan Q bagi distribusi bobot 50 koper.
Selang kelas
|
Batas kelas
|
Titik tengah
|
Frekuensi
|
7 – 9
|
6.5 – 9.5
|
8
|
3
|
10 – 12
|
9.5 – 12.5
|
11
|
7
|
13 – 15
|
12.5 – 15.5
|
14
|
17
|
16 – 18
|
13.5 – 18.5
|
17
|
15
|
19 – 21
|
18.5 – 21.5
|
20
|
8
|
Jawab
: Diperlukan sebuah nilai yang dibawahnya terdapat (75/100) X 50 = 37.5
pengmatan. Ada 27 pengamatan yang terdapat di bawah 15.5, sehingga masih
diperlukan 10.5 diantara 15 pengamatan berikutnya. Sehingga didapat,
= 17.6
2.1.3.5 Desile
Persentile adalah nilai-nilai yang membagi
segugus pengamatan menjadi seratus bagian yang sama. Nilai-nilai itu,
dilambangkan dengan P1, P2,...P99, mempunyai sifat bahwa 1% data jatuh dibawah
P1, 2% data jatuh di bawah P2..., dan 99% data jatuh di bawah P99.
Sedangkan
untuk menghitung persentile dari data yang telah tersusun dalam
bentuk distribusi frekuensi (grouped data), digunakan rumus berikut.
Pi
= Bb + C
Persentile ke-50, desil ke-5 dan
quartil ke-2 suatu distribusi disebut median. Kuartil dan desil juga merupakan
persentil. Misalnya, desil ke-7 adalah persentil ke-70, dan kuartil ke-2 adalah
juga persentil ke-50.
Dalam suatu penelitian biasanya
dilakukan suatu kegiatan pengumpulan data. Data-data ini digunakan untuk
mendukung penelitian, dimana hasil dari penelitian ini bergantung dari banyak
dan ketepatan data-data yang berhasil dikumpulkan. Untuk memudahkan penggunaan
data-data itu dalam penelitian, data-data itu dapat diringkaskan atau disusun.
Salah satu cara untuk mengatur atau
menyusun data adalah dengan mengelompokkan data-data berdasarkan ciri-ciri
penting dari sejumlah besar data, ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung
banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian ini dalam bentuk label, disebut
Distribusi frekuensi. Selain itu dapat pula disajikan dalam bentuk diagram dan
grafik.
Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua yaltu, distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution) dan distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution).
Tabel 1. Distribusi Frekuensi Bilangan
Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua yaltu, distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution) dan distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution).
Tabel 1. Distribusi Frekuensi Bilangan
Bobot Koper
(kg)
|
Banyaknya
|
7 – 9
|
3
|
10 – 12
|
7
|
13 – 15
|
17
|
16 – 18
|
15
|
19 – 21
|
8
|
Distribusi frekuensi bilangan adalah
distribusi frekuensi yang berisikan data berupa angka-angka, dimana data itu
dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, menurut besarnya
bilangan.
Tabel 2 .Distribusi Frekuensi Kategoris
Tabel 2 .Distribusi Frekuensi Kategoris
Katagori
|
Banyaknya
|
Anak-anak
|
30
|
Gadis
|
35
|
Bersuami
|
25
|
Janda
|
10
|
Distribusi frekuensi kategoris
adalah distribusi frekuensi yang berisikan data bukan angka, dimana data itu
dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, berdasarkan sifat
lain.
Dalam suatu keadaan yang menjadi
titik perhatian mungkin bukan pada banyaknya pengamatan pada kelas tertentu,
tetapi pada banyaknya pengamatan yang jatuh di atas atau di bawah sebuah nilai
tertentu. Distribusi Frekuensi semacan ini dikenal dengan sebagai Distribusi Frekuensi Kumulatif.
Distribusi Frekuensi Kumulatif terdiri dari dua macam, yaitu distribusi kumulatif kurang dari dan distribusi kumulatif lebih dari. Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari menunjukkan berapa banyaknya frekuensi pengamatan yang menunjukkkan nilai lebih kecil dari sebuah nilai atau nilai-nilai tertentu. Sedangkan Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari menunjukkan berapa banyaknya frekuensi pengamatan yang menunjukkan nilai yang lebih besar dari sebuah nilai atau nilai-nilai tertentu.
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
Batas Kelas
|
Frekuensi Relatif
|
Kurang dari 1.45
|
0
|
Kurang dari 1.95
|
2
|
Kurang dari 2.45
|
3
|
Kurang dari 2.95
|
7
|
Kurang dari 3.45
|
22
|
Kurang dari 3.95
|
32
|
Kurang dari 4.45
|
37
|
Kurang dari 4.95
|
40
|
Dari
tabel distribusi frekuensi kumulatif diatas, ada 7 pengamatan yang
mempunyai nilai kurang dari 3 .
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih
Dari
Batas Kelas
|
Frekuensi Relatife
|
Lebih dari 1.45
|
40
|
Lebih dari 1.95
|
38
|
Lebih dari 2.45
|
35
|
Lebih dari 2.95
|
33
|
Lebih dari 3.45
|
18
|
Lebih dari 3.95
|
8
|
Lebih dari 4.45
|
3
|
Lebih dari 4.95
|
0
|
Dari
tabel distribusi frekuensi
kumulatif
diatas ada 18 pengamatan yang mempunyai nilai lebih dari 3.
Distribusi frekuensi dapat juga
disajikan dalam bentuk grafik. Penyajian grafik yang sangat luas digunakan bagi data
numerik adalah diagram balok seperti gambar dibawah ini.
Diagram
Balok umur Aki
Penyajian data lainnya adalah
berbentuk Histogram. Histogram berbeda dengan Diagram Balok dala hal sebagai
lebar baloknya digunakan batas kelas bukan limit kelas. Untuk beberapa masalah
tertentu akan lebih baik bila sumbu tegaknya menyatakan frekuensi relatif
atau persentase. Grafiknya disebut Histogram
Frekuensi Relatif atau Histogram
Persentase, bentuknya persis dengan histogram frekuensi, hanya skala
tegaknya berbeda.
Histogram Frekuensi
Biasanya ada kecenderungan bahwa
yang menjadi patokan adalah luas dari persegi panjang tersebut bukan tingginya.
Tetapi untuk lebar kelas yang berbeda, tinggi persegi panjang itu harus dibagi
dengan perbandingan lebar yang lebih besar dengan gaya yang lebih kecil. Hal
ini dapat dilihat dalam gambar dibawah ini, karena lebar kelas yang dipakai ada
dua lebar kelas, maka lebar kelas dari 2.5-3.4, lebar kelasnya harus kita bagi
dengan lebar kelas lainnya, yaitu didapat ternyata lebar selang 2.5-3.4 dua
kali lebih panjang dari lebar kelas lainnya. Sehingga tinggi dari kelas
2.5-3.4, harus dibagi 2.
Histogram
Frekuensi yang tidak benar dengan lebar kelas yang tidak sama
Histogram
Frekuensi yang benar dengan lebar kelas yang tidak sama
Cara lainnya lagi adalah dalam
bentuk poligon frekuensi. Poligon frekuensi dibentuk dengan memplotkan
frekuensi kelas terhadap titik tengah kelas dan kemudian menghubungkan
titik-titik yang berurutan dengan garis lurus. Dengan kata lain poligon
merupakan bangun bersisi banyak yang tertutup. Jika frekuensi yang ada dalam
bentuk frekuensi relatif, maka disebut poligon frekuensi relatif atau poligon
persentase.
Poligon Frekuensi
Ogif atau Poligon Frekuensi Kumulatif
Grafik garis lainnya disebut Poligon
Frekuensi Kumulatif atau Ogif, didapat dengan memplotkan frekuensi kumulatif
yang lebih kecil daripada batas atas kelas terhadap batas atas kelasnya.
Statistik berfungsi hanya sebagai
alat bantu! Peranan statistik dalam penelitian tetap diletakkan sebagai alat.
Artinya, statistik bukan menjadi tujuan yang menentukan komponen penelitian
lain. Oleh sebab itu, yang berperan menentukan tetap masalah yang dicari
jawabannya dan tujuan penelitian itu sendiri.
Statistik dapat berguna dalam penyusunan model, perumusan hipotesis, pengembangan alat pengambil data, penyusunan rancangan penelitian, penentuan sampel, dan analisis data, yang kemudian data tersebut diinterpretasikan sehingga bermakna. Hampir semua penelitian ilmiah dilakukan terhadap sampel kejadian, dan atas dasar sampel itu ditarik suatu generalization. Suatu generalisasi pasti mengalami error, disinilah salah satu tugas statistikbekerja atas dasar sampel bukan populasi. Dengan demikian pengujian hipotesis dapat kita lakukan dengan teknik-teknik statistik.
Dari hasil analisis statistik yang diperoleh berdasarkan perhitungan yang angka-angka tersebut, sebenarnya belum mempunyai arti apa-apa tanpa dideskripsikan dalam bentuk kalimat atau kata-kata di dalam penarikan kesimpulan. Jika tidak, maka hasil analisis tersebut tidak akan bermakna dan hanya tinggal angka-angka yang tidak "berbunyi".
Statistik dapat berguna dalam penyusunan model, perumusan hipotesis, pengembangan alat pengambil data, penyusunan rancangan penelitian, penentuan sampel, dan analisis data, yang kemudian data tersebut diinterpretasikan sehingga bermakna. Hampir semua penelitian ilmiah dilakukan terhadap sampel kejadian, dan atas dasar sampel itu ditarik suatu generalization. Suatu generalisasi pasti mengalami error, disinilah salah satu tugas statistikbekerja atas dasar sampel bukan populasi. Dengan demikian pengujian hipotesis dapat kita lakukan dengan teknik-teknik statistik.
Dari hasil analisis statistik yang diperoleh berdasarkan perhitungan yang angka-angka tersebut, sebenarnya belum mempunyai arti apa-apa tanpa dideskripsikan dalam bentuk kalimat atau kata-kata di dalam penarikan kesimpulan. Jika tidak, maka hasil analisis tersebut tidak akan bermakna dan hanya tinggal angka-angka yang tidak "berbunyi".
2.2 Probabilitas
2.2.1 Pengertian
Probabilitas
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa
pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan
dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita
harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini,
misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat
mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu
kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan
tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini
adalah probabilitas.
Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan
atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa
mendatang. Rentangan
probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah
peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika
kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa
tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang
mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah
satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin
akan terjadi.
Contoh ; Ketika
doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung,
awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar
matahari tidak seterang biasanya.
Bagaimanakah
tindakan Doni sebaiknya?
Ketika Doni
melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan
niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar
lagi akan turunya hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan,
mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.
Probabilitas
dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak
turunnya hujan.
2.2.2 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian
Manfaat probabilitas dalam kehidupan
sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta
meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita
melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;
· Membantu peneliti
dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang lebih
tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita
ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.
· Dengan teori probabilitas kita dapat
menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
Menarik
kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji
kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita
hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian
yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.
· Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis
sampel hasil penelitian dari suatu populasi.
Contoh:
Ketika
diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan
antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk
berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil
sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis
kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7.
Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000
hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.
2.2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu
Kejandian
Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara
kualitatip, hanya memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang
besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari
probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah suatu
kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.
Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan
angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita
memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan
peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin
hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang
munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu
dari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka
sedangkan 2 menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan
koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka.
Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak
kejadian yang mungkin terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian
data diperoleh suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk
kejadian A, maka
probabilitas A adalah :
Dimana : nA= banyaknya kejadian
N= kejadian
seluruhnya/peristiwa yang
mungkin terjadi
Contoh.
Suatu mata uang logam yang
masing-masing sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali.
Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka?
Jawab :
n=1, N=2
p(gambar atau angka)=
p(gambar atau angka)=1/2 atau 50%
Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.
Contoh 2.
Berapa peluang munculnya
dadu mata satu pada satu kali pelemparan?
Jika kita tinjau
pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu
terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.
Maka
P(A)
= nA/N
= 1/6
Berikut
merupakan aturan dalam probabilitas
·
Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini
adalah sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi.
· Jika n merupakan
semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian tersebut pasti
akan terjadi
· Probabilitas suatu
kejadian memiliki rentangan nilai
· Jika E
menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku
2.2.4
Hubungan Antar Kejadian
2.2.4.1
Exclusive Event
Exclusive event merupakan 2 kejadian
atau lebih jika terjadinya kejadian yang satu mencegah terjadinya
kejadian lain.
Exclusive event
biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Jika dalam suatu
peristiwa terdiri dari k buah kejadian maka dapat dirumuskan sebagai
berikut.
P(E1 atau E2 atau.... Ek)= P(E1)+P(E2)+…P(Ek)
Contoh.
Sebuah kotak
berisi
A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30
kuning.
Isi kotak diaduk
dan diambil 1 buah
kelereng secara
acak
Berapa
probabilitas terambilnya
hijau atau
kuning?
JAWAB :P(A)
=
P(B) =
P(C)=
Maka peluang terambilnya kelereng hijau atau
kuning adalah
P(B)+P(C) = 0,33 + 0,50 =
0,83
2.2.4.2 Dependent
Event
Dependent event
adalah terjadinya suatu peristiwa merupakan syarat dari peristiwa yang lainnya.
Jika kejadian yang satu menjadi syarat terjadinya kejadian
yang lain ditulis A|B,
Kita tulis A |B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului
terjadinya peristiwa B.
peluangnya ditulis dengan p(A |B) dan disebut dependent probability
(probabilitas bersyarat). Untuk dependent events dihubungkan dengan kata dan,
sehingga berlaku hubungan:
P(A dan
B)=p(B).p (A |B)
Peluangnya
ditulis dengan P (A│B) dan disebut dependent probability
Dependent event
biasanya dihubungkan dengan kata “dan”.
Contoh.
Sebuah kotak
berisi
A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30 kuning.
Isi kotak diaduk
dan diambil 1 buah
kelereng secara
acak
jika pengambilan
pertama sebuah kelereng berwarna hijau
(tanpa
pengembalian). Berapakah probabilitas terambilnya sebuah
kelereng
berwarna merah pada pengambilan kedua?
Jawab:
Merupakan peluang kelereng warna hijau pada pengambilan
pertama dan kelelereng warna merah pada pengambilan kedua.
2.2.4.3 Independent Event
Dua kejadian atau lebih dinamakan
Independent Events, jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang
lain.
Misalnya dua kejadian A dan B. Jika
terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya
kejadian B, maka A dan B disebut Independent Events. Untuk Independent Events
dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan B ) =
p(A).p(B)
Untuk berlaku k
buah peristiwa berlaku:
p(E1
dan E2 dan…..dan Ek )
= p(E1 ).p(E2 )….p(Ek )
contoh.
Dua buah dadu dilemparkan secara
bebas satu kali. Berapakah probabilitas munculnya mata 2 dan 6 dari pelemparan tersebut?
jawab
2.2.4.4 Inclusive
Event
Dua kejadian atau lebih dinamakan saling Inclusive events jika
terjadinya kejadian yang satu tidak mencegah terjadinya kejadian yang
lain.
Inclusive events
biasanya dihubungkan dengan kata
atau.
Misalnya kejadian A dan B merupakan kejadian Inclusif, berlaku
hubungan atau A atau B atau kedua-keduanya terjadi. Untuk peristiwa tersebut
berlaku:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A+B)
Contoh.
Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan
probabilitas kelahiran anak berkulit
putih, kulit hitam,
dan sawo matang masing-masing
adalah 0,2 , 0,5 , dan 0,3. Berapakah besarnya probabilitas kelahiran anak wanita yang berkulit putih?
Jawab.
Probabilitas
kelahiran pria dan wanita adalah
sama,
sehingga p(pa
atau w)= 0,50.
Probabilitas
wanita-kulit putih=(0,50)(0,2)=0,1
P(W+P)= 0,50+0,2-0,1=0,6
2.2.5 Hubungan Probabilitas Teoritik dan Probabilitas Empirik
Hubungan probabilitas teoritik
dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan melalui contoh dari pelemparan
sebuah mata uang logam yang masih baik :
A = angka
G = gambar
2.2.5.1 Probabilitas teoritik
Kemungkinan/ probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang
berlainan serta asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar
kemungkinan yang sama (equally likely basis).
Penggunaannya
Suatu koin (uang logam)
DILEMPAR 1 KALI:
P(A)=0,50(50%)
P(G)= 0,50(50%)
DIILEMPAR 10
KALI:
P(A)= 0,50X10
kali=5 kali
P(G)= 0,50X10
kali=5 kali
Contoh.
Dalam permainan ini standar kartu 52 dek kartu
remi yang digunakan.
Dalam rangka untuk menang Anda harus memilih
"kartu wajah."
Berapa probabilitas bahwa Anda akan memenangkan
permainan ini?
JAWAB:
Secara teori:
·
Setiap kartu di dek memiliki
kesempatan yang sama untuk terambil.
· Ada 12 wajah kartu (kartu menang) di geladak. Oleh
karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:
2.2.5.2 Probabilitas
Empirik.
Kemungkinan tentang terjadinya suatu peristiwa yang dihitung atas dasar
pengalaman-pengalaman atau percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada
saat-saat yang sama di masa yang lalu atau atas dasar catatan statistik.
Karena dalam menentukan probabilitas empiris Anda benar-benar melakukan
percobaan, kadang-kadang probabilitas empirik disebut:
"eksperimental probabilitas."
"eksperimental probabilitas."
Pada kenyataannya sangat jarang
terjadi demikian, karena ada
kemungkinan muncul jumlah angka atau gambar yang bervariasi dalam 10 kali pelemparan.
Kemungkinannya tidak hanya berkisar antara 5G dan
5A, namun bisa saja kemungkinanmunculnya angka dan gambar adalah 3G dan
7A, 4G dan 6A, dan lainnya.
Sebagai contoh, suatu produsen radio, produksi 1000 buah radionya diuji
secara acak. Setelah pengujian, mereka menemukan 15 dari 1000 radio tersebut
cacat.
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:
Sebagai desimal akan menjadi 0,15 dan sebagai suatu persen itu akan menjadi
= 1,5%.
Sekarang produsen dapat menggunakan hasil ini
untuk memprediksi bahwa dalam produksi 7.500 radio, 1,5% dari mereka mungkin
akan rusak.
Jadi mereka memprediksi bahwa (0,15) (7500) =
112,5 radio rusak.
2.2.6 Menghitung Nilai Harap
(ekspektasi) dari suatu kejadian.
Contoh:
Ani dan Ina bertaruh dalam pelemparan muka dadu. Jika dalam pelemparan tersebut
nampak angka ganjil, maka Ani kalah dan harus membayar kepada Ina Rp 1.000,-.
Dan jika nampak angka genap, maka Ina kalah dan harus membayar kepda ani Rp
1.000,-. Peluang munculnya angka genap dan angka ganjil pada dadu masing-masing
adalah 1/2. Jadi peluang Ani untuk membayar uang kepda Ina adalah ½, dan
peluangnya untuk menang juga ½, sehingga ekspektasi taruhan itu adalah
ξ (untuk Ani) = ½(Rp100) + ½(-Rp100) = Rp 0.
Untuk Ina juga berlaku hal yang sama. Berarti dalam jangka waktu yang cukup
lama, dalam permainan ini Ani dan Ina masing-masing menang nol rupiah.
2.2.7 Dua Kejadian saling Lepas
Bila A dan B dua kejadian sembarang
pada S dan berlaku A ∩
B = ϕ , maka A dan B
dikatakan saling lepas atau saling bertentangan atau saling terpisah (mutually
exclusive).
P ( A U B) = P(A)+P(B)
|
Contoh.
Bila
A dan B dua Kejadian saling Lepas, dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,25 ,
tentukanlah
P ( A U B) !
Jawab :
Karena A dan B saling lepas,
maka berlaku
P ( A U B) =
P(A) + P(B) = 0,3 +0,25 = 0,55
2.2.8 Dua Kejadian Saling
Komplementer
Dalam teori himpunan disebutkan
bahwa bila himpunan A ϵ S
, maka komplemen A yang ditulis
atau
adalah
himpunan yang anggotanya S tetapi bukan anggota A atau
P (
|
Kejadian
Rumus
2.2.9 Dua Kejadian saling
bebas
P ( A∩B)
= P(A).P(B)
|
Rumus
Contoh
:
Jika
diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,4
maka berlaku :
P
( A∩B) = P(A).P(B)
= (0,3)(0,4) = 0,12
2.2.10 Permutasi dan
Combinasi
2.2.10.1 Permutasi
Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari
sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.
Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen
sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah
elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau nPr
ataunPr.
Rumusnya adalah
Rumusnya adalah
P(n,r) = nPr = nPr = n
n!
n-r !
dimana n! (n faktorial) =
n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c},
permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2
elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c},
dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah
penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan{b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.
Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh lainnya: Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku
yang berbeda di atas rak buku?
Jawaban: Di sini, n = 5 dan r = 5.
Jadi, 5P5 = 5!/(5-5)! = 5!/0! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/1 = 120.
Jadi, 5P5 = 5!/(5-5)! = 5!/0! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/1 = 120.
Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r,
rumus untuk nPr = n!.
2.2.10.1.1 Permutasi Melingkar/Keliling
Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun
anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar
dianggap sama bila didapatkan dua himpunan permutasi yang sama dengan cara
beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam. Banyaknya
permutasi yang disusun secara melingkar adalah (n-1) !
Contoh.
Dalam tahun ajaran baru setiap kelas
dianjurkan untuk membentuk susunan pengurus kelas yang baru. Jika hanya dipilih
1 ketua kelas, 1 wakil ketua kelas , 1 bendahara dan 1 sekertaris dari 8 orang
calon, tentukan kemungkinan yang akan terjadi.
Jawab.
Maka aka nada 1680 kemungkinan atau
cara membentuk susunan pengurus kelas yang baru dari 8 orang calon.
2.2.10.2 Combinasi
Kombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari
anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari
anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing
susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C.
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Susunan pada combinasi tidaklah
memperhatikan urutan seperti pada permutasi, oleh daripada itu combinasi n
objek yang diambil dari n adalah sebagai berikut,
Contoh.
Berapa banyaknya kemungkinan
pasangan antara calon presiden dan wakil presiden jika ada 8 buah calon.
Jawab.
Karena ditanya pasangan, maka akan
dibentuk tim yang terdiri dari 2 orang dari 8 calon, maka dapat dicari dengan
cara.
Maka hanya ada
28 kemungkinan pasangan yang akan terjadi.
2.2.11 Bagian-Bagian Peluang berdasarkan
Definisi
2.2.11.1 Pendekatan Klasik
Peluang
klasik dari sebuah peristiwa adalah rasio antara jumlah peristiwa yang bisa
terjadi dengan jumlah semua hasil yang bisa terjadi, dimana hasil ini dapat
diturunkan dari sebuah eksperimen.
Jika
ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang
dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai
kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan
terjadi a adalah:
P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi
b adalah: P (A) = b/a+b
RUMUS :
P(peristiwa)
= x=Jumlah cara terjadinya suatu peristiwa2Jumlah
cara terjadinya semua hasil
Contoh:
Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria
(A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa
ia merupakan wanita?
Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5
2.2.11.2 Pendekatan subyektif
Peluang
subjektif adalah sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang digunakan seseorang untuk
menyatakan perasaan ketidakpastian tentang terjadinya peristiwa tertentu.
Peluang 0 berarti seseorang merasa bahwa peristiwa tersebut tidak mungkin
terjadi, sedangkan peluang 1 berarti bahwa seseorang yakin bahwa peristiwa
tersebut pasti terjadi.
Definisi ini
jelas merupakan pandangan subjektif atau pribadi tentang peluang.
Meski
peluang subjektif tidak didasarkan pada suatu eksperimen ilmiah, namun
penggunaannya tetap bisa dipertanggungjawabkan. Dalam menentukan nilai peluang
ini, seorang pengambil keputusan tetap menggunakan prinsip-prinsip logis yang
didasarkan pada pengalaman yang diperolehnya. Seorang pengambil keputusan sudah
mengetahui secara nyata apa faktor-faktor yang mempengaruhi keputusannya
sehingga dia bisa memprediksi apa kira-kira yang bakal terjadi dari keputusan
yang diambilnya. Yang masih menjadi pertanyaan adalah apakah peluang subjektif
dapat digunakan untuk keperluan analisis statistika selanjutnya. Kelompok
statistika objektif atau klasik
menolak penggunaan peluang subjektif ini, sebaliknya kelompok Bayes
menerimanya. Bukan tujuan kita untuk membahas perdebatan ini, kecuali bahwa
penggunaan peluang subjektif tampak sesuai dalam pengambilan keputusan bisnis.
Berbeda halnya dengan penelitian kimia, pertanian, farmasi, kedokteran
atau ilmu eksakta lainnya yang memang harus menggunakan peluang objektif sebagai
dasar analisisnya. Sampai saat ini pengambilan keputusan berdasarkan peluang
subjektif masih dibilang sebagai salah satu tehnik manajerial yang terbaik.
Contoh
“Berapa peluang penjualan barang X bulan depan akan melebihi 50.000
unit jika dilakukan perubahan kemasan?”. Sudah barang tentu eksperimen
tentang pengaruh perubahan kemasan terhadap volume penjualan dengan pengulangan
yang sangat besar jarang dilakukan bahkan tidak pernah dilakukan. Meski
menggunakan data penjualan bulanan bukan sesuatu yang musthail, akan tetapi
tidaklah efisien jika perusahaan selalu merubah kemasan setiap bulannya hanya
untuk meningkatkan volume penjualan. Olehkarena itu, biasanya seorang manajer
menggunakan intuisi atau perasaannya dalam menentukan nilai peluang ini. Jadi
tidaklah heran jika seorang manajer menyatakan “peluang terjualnya barang X
melebihi 50.000 unit pada bulan depan adalah 0,40”.
2.2.11.3 Pendekatan Frekuensi Relatife
Nilai
probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat
terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).Jika
sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan sebuah peritiwa A terjadi
sebanyak n(A) kali dari N pengulangan ini, maka peluang terjadinya peristiwa A
dinyatakan sebagai proporsi terjadinya peristiwa A ini.
Contoh:
Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan
terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa
probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?
Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80
Probabilitas
disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian
A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2,
yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas
totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1
2.2.12 JENIS KEJADIAN
2.2.12.1 Berdasarkan peluang terjadinya.
a. Kejadian Saling Meniadakan (Mutually
Exclusive)
yaitu
kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
Contoh:
Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus
Keadaan
: Dingin vs Panas
Cuaca
: Hujan vs Tidak Hujan
b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan
(Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian
Contoh:
Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan
Dingin
vs Hujan
Panas
vsTidak hujan
Panas
vs Hujan
2.2.12.2 Berdasarkan pengaruh/hubungannya
a. Kejadian Independen
yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu
kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.
b. Kejadian Dependen
yaitu
apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada
probabilitas/peluang kejadian yang lain.
yang dapat terjadi secara bersama-sama
dengan kejadian lainnya.
2.2.13 PERHITUNGAN NILAI PELUANG
2.2.13.1 Hukum
Penjumlahan
Digunakan apabila kita ingin menghitung
probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang
terjadi dalam suatu percobaan/kejadian tunggal.
Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling
meniadakan;
P(A atau B) = P (AB) = P(A) + P(B)
Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak
saling meniadakan:
1. Dua Kejadian
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).
2. Tiga Kejadian
P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A
dan B) – P(A dan C) – P(Bdan C) + P(A dan B dan C) atau P(AÈBÈC) = P(A) + P(B)
+ P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) – P(BÇC) + P(AÇBÇC)
2.2.13.2 Hukum Perkalian
Hukum perkalian untuk 2 kejadian Independen: P(A dan B) =
P(A) x P(B)
Hukum perkalian untuk 3 kejadian Independen:P(AÇB) = P(A) x
P(B) x P(C)
Hukum perkalian untuk kejadian dependen: P(A dan B) = P(A) x
P(B)
atau
P(A dan B) = P(A x P(BA)
atau
P(B dan A) = P(B) x P(AB)
Contoh:
Berdasarkan
pengalaman, sebuah produk susu kaleng yang lulus uji dalam hal berat bersih
akan diberi nilai 0.95. Lembaga konsumen membuktikan pernyataan tersebut dengan
cara mengukur 3 kaleng dengan sebuah alat ukur tertentu. Dengan asumsi bahwa
jika kaleng 1 lulus uji, maka kaleng 2 dan 3 belum tentu lulus, maka tentukan:
a. Berapa probabilitas bahwa ketiga kaleng tsb lulus uji?
b. Berapa probabilitas bahwa hanya dua kaleng yang lulus uji?
c. Berapa probabilitas bahwa tidak ada yang lulus uji?
Jawab:
a. P(3 lulus uji) = P(k1 dan k2 dan k3)
=
0.95 x 0.95 x 0.95 = 0.86
b. P(2 lulus uji) = P(K1 dan K2 dan K3’)+P(K1 dan K2’ dan
K3)+P(K1 dan K2 dan K3’)
= (0.95 x 0.95 x0.05) + (0.09 x 0.05 x 0.95 + (0.05 x 0.95 x
0.95)
= 0.14
c. P(tidak ada yang lulus uji) = P(K1’ dan K2’ dan K3’)
= 0.05 x 0.05 x 0.05
= 0.000125
2.2.14 Teorema
bayes
Hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (A) dengan syarat peristiwa lain telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa (X) dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
P(Ai/Xi)= [P(Ai) P(Xi/ Ai)]/ [∑P(Ai) P(Xi/ Ai)]
Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah fungsi peubah acak X, g(X) dilambangkan dengan E[g(X)] dapat didefinisikan sebagai berikut
Hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (A) dengan syarat peristiwa lain telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa (X) dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
P(Ai/Xi)= [P(Ai) P(Xi/ Ai)]/ [∑P(Ai) P(Xi/ Ai)]
Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah fungsi peubah acak X, g(X) dilambangkan dengan E[g(X)] dapat didefinisikan sebagai berikut
Ekspektasi matematis E(X) = ∑X.P(X)
Contoh
: Dalam sebuah permainan judi 2 angka (00 s/d 99), jika kita
membayar untuk satu lembar kupon sebesar X kita akan memperoleh hadiah sebesar
60X jika menang (sebetulnya 59X, karena X lainnya adalah uang kita). Jika
peluang munculnya angka sama, maka berapakah nilai harapan memenangkannya ?
2.2.15 Aturan Probabilitas
Suatu peristiwa E dapat terjadi
sebanyak “h” kali diantara sejumlah “n” peristiwa yang mungkin, dengan
ketentuan h <= n. Dengan demikian nilai probabilitas dari peristiwa paling
kecil adalah 0 (nol) dan paling besar adalah 1 (satu) atau diformulasikan
menjadi: 0 <= P (E) <= 1 ; dimana P (E) merupakan probabilitas suatu
peristiwa.
Jika P(E) = 0, maka peristiwa E “pasti tidak terjadi”.
Jika P(E) = 1, maka peristiwa E “pasti terjadi”.
Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.
Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.
Apabila kemingkinan terjadinya peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa yang “komplementer” satu sama lain.
Jika P(E) = 0, maka peristiwa E “pasti tidak terjadi”.
Jika P(E) = 1, maka peristiwa E “pasti terjadi”.
Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.
Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.
Apabila kemingkinan terjadinya peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa yang “komplementer” satu sama lain.
Contoh
:
Jika sebuah dadu dilempar satu kali maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.
Jika sebuah dadu dilempar satu kali maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.
2.2.16 Probabilitas Lebih Dari Satu Peristiwa
Suatu suatu percobaan
“tunggal” dimungkinkan akan terjadi beberapa peristiwa, maka peristiwa yang
satu dengan peristiwa yang lain dipisahkan dengan tanda “atau” (U). Misalnya
dalam percobaan satu kali pelemparan sebuah dadu, maka probabilitas keluar mata
4 atau mata 5 adalah ditulis P (4 U 5). Peristiwa yang terjadi dalam percobaan
tunggal tersebut dapat bersifat Mutually Exclusive atau bersifat Non-Mutually
Exclusive.
Dalam percobaan yang banyak, maka peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda “dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat Independent atau bersifat Dependent.
Dalam percobaan yang banyak, maka peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda “dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat Independent atau bersifat Dependent.
BAB III
PENUTUP
Demikianlah penulisan makalah
ini yang telah kami buat. Dari hasil pembahasan yang telah penulis bahas pada
makalah ini maka dapat kita ambil kesimpulan dan rekomendasi.
3.1.
Kesimpulan
Dispersi data adalah ukuran
penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.
Memiliki Jenis ukuran
:
Dispersi Mutlak :
Jangkauan (range), Simpangan rata-rata (mean deviation), Variansi
(variance), Standar deviasi (standard deviation), Simpangan
kuartil (quartile deviation)
Dispersi Relatif
: Koefisien variasi (coeficient of variation).
Pentingnya kita
mempelajari dispersi data didasarkan pada pertimbangan.
Pertama, pusat data seperti rata-rata hitung,
median dan modus hanya memberi informasi yang sangat terbatas, sehingga tanpa
disandingkan dengan dispersi data kurang bermanfaat dalam analisis data.
Kedua, dispersi data sangat penting untuk
membandingkan penyebaran dua distribusi atau lebih.
Perlu dicermati bahwa peristiwa
saling bebas tidak sama dengan peristiwa eksklusif. Dalam konsep teori
himpunan, peristiwa saling eksklusif tidak mempunyai ruang sample yang
mengandung titik yang sama (irisan), sedangkan dalam peristiwa saling bebas dua
peristiwa A dan B akan memiliki titik yang sama jika A dan B mempunyai peluang
yang tidak nol.
3.2. Saran
Dalam kehidupan sehari – hari bahwa penggunaan aplikasi
microsoft Excel dan juga SPSS dapat memberikan manfaat yang besar bagi suatu
organisasi perusahaan maupun pendidikan yaitu waktu dapat menjadi lebih efisien
ketika melakukan pengolahan data mentah menjadi data berkelompok yang nantinya
menjadi informasi bagi organisasi tersebut dalam menentukan keputusan yang
lebih baik di masa yang akan datang. Sebaliknya, jika sebuah organisasi
perusahaan maupun pendidikan masih menerapkan penghitungan manual dalam
pengolahan data statistik, maka waktu yang ada menjadi kurang efisien dan
pengerjaan dalam mengolah data menjadi kurang efektif.
Dan juga bila dibandingkan hasil dari pengolahan data secara
manual dengan hasil pengolahan data secara otomatis yaitu dengan aplikasi
microsoft excel dan SPSS, akan memperoleh hasil yang berbeda dari keduanya.
Tingkat keakuratan pengolahan data secara otomatis lebih mendekati kebenaran
daripada pengolahan data secara manual.
Perlu dicermati bahwa peristiwa
saling bebas tidak sama dengan peristiwa eksklusif. Dalam konsep teori
himpunan, peristiwa saling eksklusif tidak mempunyai ruang sample yang
mengandung titik yang sama (irisan), sedangkan dalam peristiwa saling bebas dua
peristiwa A dan B akan memiliki titik yang sama jika A dan B mempunyai
peluang yang tidak nol.
VI.
DAFTAR PUSTAKA
Tidak ada komentar :
Posting Komentar